Bài tập Toán nâng cao lớp 9

Một số bài bác tập Toán nâng cấp lớp 9 bao hàm các bài bác tập Toán lớp 9 nâng cao có đáp án vừa mới được Vn
Doc.com đọc và xin được gửi đến bạn đọc cùng tham khảo. Đây là tư liệu hữu ích giành riêng cho bồi dưỡng học sinh xuất sắc môn Toán lớp 9, ôn thi vào lớp 10 môn Toán. Mời thầy cô và các bạn cùng tham khảo cụ thể và mua về nội dung bài viết dưới phía trên nhé.

Bạn đang xem: Một số bài tập toán nâng cao lớp 9


CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU

Câu 1. minh chứng √7 là số vô tỉ.

Câu 2.

a) triệu chứng minh: (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2)

b) chứng tỏ bất dẳng thức Bunhiacôpxki: (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2)

Câu 3. Cho x + y = 2. Tìm giá trị bé dại nhất của biểu thức: S = x2 + y2.

Câu 4.

a) cho a ≥ 0, b ≥ 0. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy:

*


b) mang lại a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

*

c) mang đến a, b > 0 với 3a + 5b = 12. Tìm giá chỉ trị lớn nhất của tích p = ab.

Câu 5. mang lại a + b = 1. Tìm giá bán trị nhỏ dại nhất của biểu thức: M = a3 + b3.

Câu 6. cho a3 + b3 = 2. Tìm giá bán trị lớn nhất của biểu thức: N = a + b.

Câu 7. cho a, b, c là những số dương. Chứng minh: a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c)

Câu 8. Tìm liên hệ giữa các số a với b biết rằng: |a + b| > |a - b|

Câu 9.

a) chứng tỏ bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a

b) đến a, b, c > 0 với abc = 1. Chứng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8

Câu 10. minh chứng các bất đẳng thức:

a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2)

b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)

Câu 11. Tìm các giá trị của x sao cho:

a) |2x – 3| = |1 – x|

b) x2 – 4x ≤ 5

c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 1.

Câu 12. Tìm các số a, b, c, d biết rằng: a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d)

Câu 13. cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001. Với giá trị làm sao của a cùng b thì M đạt giá chỉ trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ dại nhất đó.


Câu 14. mang lại biểu thức phường = x2 + xy + y2 – 3(x + y) + 3. Chứng tỏ rằng giá chỉ trị nhỏ dại nhất của p. Bằng 0.

Câu 15. chứng tỏ rằng không tồn tại giá trị như thế nào của x, y, z vừa lòng đẳng thức sau:

x2 + 4y2 + z2 – 2a + 8y – 6z + 15 = 0

Câu 16. Tìm giá chỉ trị lớn nhất của biểu thức:

*

Câu 17. So sánh các số thực sau (không cần sử dụng máy tính):

*

Câu 18. Hãy viết một trong những hữu tỉ và một trong những vô tỉ lớn hơn √2 nhưng nhỏ hơn √3

Câu 19. Giải phương trình:

*
.

Câu 20. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x2y với những điều kiện x, y > 0 và 2x + xy = 4.

Câu 21. đến

*
.

Hãy đối chiếu S cùng

*
.

Câu 22. chứng minh rằng: ví như số tự nhiên và thoải mái a chưa hẳn là số bao gồm phương thì √a là số vô tỉ.

Xem thêm: Cách Học Phiên Âm Tiếng Trung Như Người Bản Xứ, Hướng Dẫn Phiên Âm Tiếng Trung Đầy Đủ Nhất

Câu 23. cho các số x cùng y cùng dấu. Chứng minh rằng:

*


Câu 24. chứng minh rằng các số sau là số vô tỉ:

*

Câu 25. tất cả hai số vô tỉ dương nào mà lại tổng là số hữu tỉ không?

Câu 26. cho các số x và y khác 0. Chứng tỏ rằng:

*

Câu 27. cho những số x, y, z dương. Chứng tỏ rằng:

*

Câu 28. minh chứng rằng tổng của một trong những hữu tỉ với một số vô tỉ là một số vô tỉ.

Câu 29. chứng minh các bất đẳng thức:

a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2)

b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)

c) (a1 + a2 + ….. + an)2 ≤ n(a12 + a22 + ….. + an2).

Câu 30. đến a3 + b3 = 2. Minh chứng rằng a + b ≤ 2.

Câu 31. chứng minh rằng: + .

Câu 32. Tìm giá bán trị lớn nhất của biểu thức:

*

Câu 33. Tìm giá chỉ trị bé dại nhất của:

*
cùng với x, y, z > 0.

Câu 34. Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = x2 + y2 biết x + y = 4.

Câu 35. Tìm giá chỉ trị lớn nhất của: A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) cùng với x, y, z ≥ 0; x + y + z = 1.

Câu 36. Xét xem những số a cùng b hoàn toàn có thể là số vô tỉ ko nếu:

a) ab và a/b là số vô tỉ.

b) a + b và a/b là số hữu tỉ (a + b ≠ 0)

c) a + b, a2 và b2 là số hữu tỉ (a + b ≠ 0)

Câu 37. mang đến a, b, c > 0. Bệnh minh: a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c)

Câu 38. mang đến a, b, c, d > 0. Triệu chứng minh:

*

Câu 39. chứng tỏ rằng <2x> bằng 2 hoặc 2 + 1


Câu 40. mang lại số nguyên dương a. Xét các số tất cả dạng: a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ; … ; a + 15n. Minh chứng rằng trong những số đó, tồn tại nhị số mà lại hai chữ số thứ nhất là 96.

Câu 41. Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa:

*

Câu 42.

a) chứng tỏ rằng: | A + B | ≤ | A | + | B |. Dấu “ = ” xảy ra khi nào?

b) Tìm giá bán trị nhỏ tuổi nhất của biểu thức sau:

*
.

c) Giải phương trình:

*

Câu 43. Giải phương trình:

*
.

Câu 44. Tìm những giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa:

*

Trên phía trên Vn
Doc.com vừa giữ hộ tới bạn đọc bài viết Một số bài bác tập Toán nâng cao lớp 9. Hi vọng thông qua tư liệu này, những em vẫn nắm được nhiều dạng Toán nâng cao, từ đó học tốt Toán 9 hơn cùng đạt hiệu quả cao trong những kì thi sắp tới tới.

Ngoài tư liệu trên, các bạn có thể tham khảo thêm các tư liệu môn Toán lớp 9 không giống được cập nhật liên tục bên trên Vn
Doc.

Bạn đã xem đôi mươi trang chủng loại của tài liệu "Chuyên đề một số trong những bài tập toán cải thiện lớp 9", để download tài liệu nơi bắt đầu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD nghỉ ngơi trên
*

Một số bài tập toán cải thiện LỚP 9 PHẦN I: ĐỀ BÀI1. Chứng minh là số vô tỉ.2. A) minh chứng : (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) b) chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki : (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2)3. Mang lại x + y = 2. Tìm giá trị bé dại nhất của biểu thức : S = x2 + y2.4. A) mang lại a ≥ 0, b ≥ 0. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy : . B) mang đến a, b, c > 0. Chứng minh rằng : c) đến a, b > 0 cùng 3a + 5b = 12. Tìm giá chỉ trị lớn nhất của tích p. = ab.5. Cho a + b = 1. Tìm giá bán trị nhỏ tuổi nhất của biểu thức : M = a3 + b3.6. đến a3 + b3 = 2. Tìm giá bán trị lớn nhất của biểu thức : N = a + b.7. Mang đến a, b, c là các số dương. Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c)8. Tìm tương tác giữa các số a với b hiểu được : 9. A) chứng tỏ bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a b) đến a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng tỏ : (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 810. Chứng minh các bất đẳng thức :a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2)b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)11. Tìm những giá trị của x thế nào cho :a) | 2x – 3 | = | 1 – x |b) x2 – 4x ≤ 5c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 1.12. Tìm những số a, b, c, d biết rằng : a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d)13. Mang lại biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001. Với giá trị như thế nào của a với b thì M đạt giá bán trị nhỏ tuổi nhất ? Tìm giá trị bé dại nhất đó.14. Mang lại biểu thức p. = x2 + xy + y2 – 3(x + y) + 3. CMR giá chỉ trị nhỏ dại nhất của phường bằng 0.15. Chứng tỏ rằng không tồn tại giá trị làm sao của x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau :x2 + 4y2 + z2 – 2a + 8y – 6z + 15 = 016. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 17. So sánh các số thực sau (không sử dụng máy tính) :a) b) c) d) 18. Hãy viết một số hữu tỉ và một trong những vô tỉ lớn hơn nhưng nhỏ dại hơn 19. Giải phương trình : .20. Tìm giá bán trị lớn số 1 của biểu thức A = x2y với những điều kiện x, y > 0 cùng 2x + xy = 4.21. Cho . Hãy đối chiếu S với .22. Chứng tỏ rằng : nếu như số tự nhiên a chưa hẳn là số chủ yếu phương do đó số vô tỉ.23. Cho các số x với y thuộc dấu. Minh chứng rằng :a) b) c) .24. Minh chứng rằng các số sau là số vô tỉ : a) b) cùng với m, n là các số hữu tỉ, n ≠ 0.25. Gồm hai số vô tỉ dương nào nhưng tổng là số hữu tỉ không ?26. Cho những số x cùng y không giống 0. Chứng minh rằng : .27. Cho những số x, y, z dương. Chứng tỏ rằng : .28. Chứng tỏ rằng tổng của một số trong những hữu tỉ với một số vô tỉ là một số trong những vô tỉ.29. Minh chứng các bất đẳng thức : a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2)b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)c) (a1 + a2 + .. + an)2 ≤ n(a12 + a22 + .. + an2).30. đến a3 + b3 = 2. Chứng tỏ rằng a + b ≤ 2.31. Minh chứng rằng : .32. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : .33. Tìm giá bán trị bé dại nhất của : cùng với x, y, z > 0.34. Tìm giá chỉ trị nhỏ tuổi nhất của : A = x2 + y2 biết x + y = 4.35. Tìm giá chỉ trị lớn nhất của : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ 0 ; x + y + z = 1.36. Xét xem các số a và b có thể là số vô tỉ không ví như : a) ab với là số vô tỉ.b) a + b cùng là số hữu tỉ (a + b ≠ 0)c) a + b, a2 cùng b2 là số hữu tỉ (a + b ≠ 0)37. Cho a, b, c > 0. Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c)38. đến a, b, c, d > 0. Chứng tỏ : 39. Minh chứng rằng bằng hoặc 40. Cho số nguyên dương a. Xét những số bao gồm dạng : a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ; ; a + 15n. Chứng tỏ rằng trong các số đó, tồn tại nhị số mà hai chữ số đầu tiên là 96.41. Tìm những giá trị của x để các biểu thức sau tất cả nghĩa :42. A) chứng minh rằng : | A + B | ≤ | A | + | B | . Vệt “ = ” xảy ra khi nào ? b) Tìm giá bán trị nhỏ tuổi nhất của biểu thức sau : . C) Giải phương trình : 43. Giải phương trình : .44. Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau bao gồm nghĩa :45. Giải phương trình : 46. Tìm giá trị bé dại nhất của biểu thức : .47. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 48. đối chiếu : a) b) c) (n là số nguyên dương)49. Với cái giá trị như thế nào của x, biểu thức sau đạt giá chỉ trị nhỏ dại nhất : .50. Tính : (n ≥ 1)51. Rút gọn biểu thức : .52. Tìm những số x, y, z vừa lòng đẳng thức : 53. Tìm giá chỉ trị nhỏ tuổi nhất của biểu thức : .54. Giải các phương trình sau :55. đến hai số thực x với y vừa lòng các điều kiện : xy = 1 và x > y. CMR: .56. Rút gọn các biểu thức :57. Chứng tỏ rằng .58. Rút gọn các biểu thức :.59. So sánh : 60. Mang đến biểu thức : kiếm tìm tập xác minh của biểu thức A.Rút gọn gàng biểu thức A.61. Rút gọn các biểu thức sau : 62. đến a + b + c = 0 ; a, b, c ≠ 0. Chứng tỏ đẳng thức : 63. Giải bất phương trình : .64. Search x làm thế nào để cho : .65. Tìm giá chỉ trị nhỏ dại nhất, giá trị lớn số 1 của A = x2 + y2 , hiểu được :x2(x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = 1 (1)66. Search x nhằm biểu thức bao gồm nghĩa: .67. đến biểu thức : .a) Tìm giá trị của x nhằm biểu thức A có nghĩa.b) Rút gọn biểu thức A. C) Tìm quý hiếm của x nhằm A 0 với a + b ≤ 1.82. CMR trong những số có tối thiểu hai số dương (a, b, c, d > 0).83. Rút gọn biểu thức : .84. Mang đến , trong những số đó x, y, z > 0. Chứng minh x = y = z.85. Cho a1, a2, , an > 0 với a1a2an = 1. Chứng minh: (1 + a1)(1 + a2)(1 + an) ≥ 2n.86. Chứng minh : (a, b ≥ 0).87. Chứng tỏ rằng nếu các đoạn thẳng bao gồm độ nhiều năm a, b, c lập được thành một tam giác thì các đoạn thẳng tất cả độ dài cũng lập được thành một tam giác.88. Rút gọn : a) b) .89. Chứng tỏ rằng với mọi số thực a, ta đều sở hữu : . Lúc nào có đẳng thức ?90. Tính : bằng hai cách.91. So sánh : a) 92. Tính : .93. Giải phương trình : .94. Minh chứng rằng ta luôn luôn có : ; "n Î Z+95. Minh chứng rằng nếu a, b > 0 thì .96. Rút gọn biểu thức : A = .97. Chứng minh các đẳng thức sau : (a, b > 0 ; a ≠ b) (a > 0).98. Tính : ..99. So sánh : 100. Cho hằng đẳng thức : (a, b > 0 cùng a2 – b > 0).Áp dụng tác dụng để rút gọn gàng : 101. Xác định giá trị các biểu thức sau :với (a > 1 ; b > 1) với .102. Cho biểu thức a) Tìm tất cả các giá trị của x nhằm P(x) xác định. Rút gọn P(x).b) chứng tỏ rằng trường hợp x > 1 thì P(x).P(- x) 0. Chứng minh : .112. Cho a, b, c > 0 ; a + b + c = 1. Chứng minh :.113. Cm : cùng với a, b, c, d > 0.114. Tìm giá bán trị nhỏ dại nhất của : .115. Tìm giá bán trị nhỏ tuổi nhất của : .116. Tìm giá chỉ trị nhỏ nhất, giá bán trị lớn số 1 của A = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 ≤ 5.117. Tìm giá trị lớn số 1 của A = x + .118. Giải phương trình : 119. Giải phương trình : 120. Giải phương trình : 121. Giải phương trình : 122. Minh chứng các số sau là số vô tỉ : 123. Chứng tỏ .124. Minh chứng bất đẳng thức sau bằng phương thức hình học : cùng với a, b, c > 0.125. Chứng tỏ với a, b, c, d > 0.126. Chứng tỏ rằng nếu các đoạn thẳng gồm độ dài a, b, c lập được thành một tam giác thì các đoạn thẳng tất cả độ dài cũng lập được thành một tam giác.127. Chứng minh với a, b ≥ 0.128. Chứng tỏ với a, b, c > 0.129. đến . Minh chứng rằng x2 + y2 = 1.130. Tìm giá bán trị nhỏ dại nhất của 131. Tra cứu GTNN, GTLN của .132. Tìm giá chỉ trị nhỏ dại nhất của 133. Tìm giá bán trị bé dại nhất của .134. Tra cứu GTNN, GTLN của : 135. Tìm kiếm GTNN của A = x + y biết x, y > 0 thỏa mãn nhu cầu (a và b là hằng số dương).136. Tra cứu GTNN của A = (x + y)(x + z) với x, y, z > 0 , xyz(x + y + z) = 1.137. Tìm GTNN của cùng với x, y, z > 0 , x + y + z = 1.138. Search GTNN của biết x, y, z > 0 , .139. Tìm giá bán trị lớn nhất của : a) cùng với a, b > 0 , a + b ≤ 1b) cùng với a, b, c, d > 0 với a + b + c + d = 1.140. Tìm giá chỉ trị bé dại nhất của A = 3x + 3y với x + y = 4.141. Kiếm tìm GTNN của với b + c ≥ a + d ; b, c > 0 ; a, d ≥ 0.142. Giải các phương trình sau :.143. Rút gọn gàng biểu thức : .144. Minh chứng rằng, "n Î Z+ , ta luôn có : .145. Trục căn thức ở mẫu mã : .146. Tính : 147. Cho . Chứng minh rằng a là số trường đoản cú nhiên.148. Mang đến . B có phải là số tự nhiên và thoải mái không ?149. Giải những phương trình sau :150. Tính giá trị của biểu thức : 151. Rút gọn : .152. Cho biểu thức : a) Rút gọn gàng P.b) p có cần là số hữu tỉ không ?153. Tính : .154. Chứng minh : .155. Mang đến . Hãy tính cực hiếm của biểu thức: A = (a5 + 2a4 – 17a3 – a2 + 18a – 17)2000.156. Minh chứng : (a ≥ 3)157. Chứng tỏ : (x ≥ 0)158. Tìm giá chỉ trị lớn nhất của , biết x + y = 4.159. Tính cực hiếm của biểu thức sau cùng với .160. Chứng tỏ các đẳng thức sau :161. Chứng minh các bất đẳng thức sau :162. Minh chứng rằng : . Từ kia suy ra:163. Trục căn thức ở chủng loại : .164. Cho . Tính A = 5x2 + 6xy + 5y2.165. Chứng minh bất đẳng thức sau : .166. Tính cực hiếm của biểu thức : với .167. Giải phương trình : .168. Giải bất các pt : a) .169. Rút gọn những biểu thức sau :170. Tìm GTNN cùng GTLN của biểu thức .171. Tìm giá bán trị bé dại nhất của với 0 0 ; a ≠ 1)186. Chứng minh : . (a > 0 ; a ≠ 1) 187. Rút gọn gàng : (0 y > 0c) với ; 0 0 và ab + bc + ca = 1e) 198. Chứng tỏ : cùng với x ≥ 2.199. Cho . Tính a7 + b7.200. Mang đến a) Viết a2 ; a3 dưới dạng , trong những số đó m là số từ bỏ nhiên.b) chứng minh rằng với đa số số nguyên dương n, số an viết được bên dưới dạng trên.201. Cho biết thêm x = là một trong nghiệm của phương trình x3 + ax2 + bx + c = 0 với những hệ số hữu tỉ. Tìm các nghiệm còn lại.202. Chứng tỏ với nÎ N ; n ≥ 2.203. Tra cứu phần nguyên của số (có 100 dấu căn).204. Mang lại .205. đến 3 số x, y, là số hữu tỉ. Minh chứng rằng mỗi số đều là số hữu tỉ206. CMR, "n ≥ 1 , n Î N : 207. Mang đến 25 số thoải mái và tự nhiên a1 , a2 , a3 , a25 thỏa đk : . Minh chứng rằng trong 25 số thoải mái và tự nhiên đó sống thọ 2 số bằng nhau.208. Giải phương trình .209. Giải cùng biện luận với thông số a .210. Giải hệ phương trình 211. Chứng tỏ rằng :a) Số gồm 7 chữ số 9 tức tốc sau vệt phẩy.b) Số có mười chữ số 9 tức thì sau lốt phẩy.212. Kí hiệu an là số nguyên sớm nhất (n Î N*), lấy ví dụ : Tính : .213. Tra cứu phần nguyên của những số (có n vệt căn) : a) b) c) 214. Kiếm tìm phần nguyên của A cùng với n Î N : 215. Minh chứng rằng lúc viết số x = bên dưới dạng thập phân, ta được chữ số lập tức trước vệt phẩy là 1, chữ số ngay lập tức sau vệt phẩy là 9.216. Search chữ số tận thuộc của phần nguyên của .217. Tính tổng 218. Tìm giá trị lớn nhất của A = x2(3 – x) cùng với x ≥ 0.219. Giải phương trình : a) b) .220. Có tồn tại các số hữu tỉ dương a, b không nếu như : a) b) .221. Chứng tỏ các số sau là số vô tỉ : a) 222. Minh chứng bất đẳng thức Cauchy cùng với 3 số ko âm : .223. Mang lại a, b, c, d > 0. Biết . Minh chứng rằng : .224. Chứng tỏ bất đẳng thức : cùng với x, y, z > 0225. Mang lại . Chứng tỏ rằng : a 0 , x ≠ 8247. CMR : là nghiệm của phương trình x3 – 6x – 10 = 0.248. Cho . Tính cực hiếm biểu thức y = x3 – 3x + 1987.249. Minh chứng đẳng thức : .250. Chứng minh bất đẳng thức : .251. Rút gọn những biểu thức sau :a) c) .252. Mang đến . Tính quý giá của biểu thức M biết rằng:.253. Tìm giá chỉ trị nhỏ tuổi nhất của : (a 0 ; y > 0.265. Minh chứng giá trị biểu thức D không phụ thuộc vào vào a: với a > 0 ; a ≠ 1 266. Mang đến biểu thức .a) Rút gọn biểu thức B.b) Tính giá trị của biểu thức B khi c = 54 ; a = 24c) với mức giá trị nào của a với c để B > 0 ; B 1. Minh chứng rằng : y - | y | = 0c) Tìm giá trị nhỏ nhất của y ?
PHẦN II: HƯỚNG DẪN GIẢI1. Trả sử là số hữu tỉ Þ (tối giản). Suy ra (1). Đẳng thức này chứng minh mà 7 là số nguyên tố buộc phải m 7. Đặt m = 7k (k Î Z), ta có mét vuông = 49k2 (2). Tự (1) và (2) suy ra 7n2 = 49k2 bắt buộc n2 = 7k2 (3). Từ (3) ta lại có n2 7 và vày 7 là số nguyên tố đề xuất n 7. M cùng n cùng phân tách hết mang lại 7 yêu cầu phân số không tối giản, trái trả thiết. Vậy không hẳn là số hữu tỉ; cho nên vì vậy là số vô tỉ.2. Triển khai vế trái và đặt nhân tử chung, ta được vế phải. Từ a) Þ b) vì chưng (ad – bc)2 ≥ 0.3. Biện pháp 1 : trường đoản cú x + y = 2 ta gồm y = 2 – x. Vì thế : S = x2 + (2 – x)2 = 2(x – 1)2 + 2 ≥ 2.Vậy min S = 2 Û x = y = 1.Cách 2 : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki với a = x, c = 1, b = y, d = 1, ta tất cả :(x + y)2 ≤ (x2 + y2)(1 + 1) Û 4 ≤ 2(x2 + y2) = 2S Û S ≥ 2. Þ mim S = 2 khi x = y = 14. B) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các cặp số dương , ta theo thứ tự có: ; cộng từng vế ta được bất đẳng thức yêu cầu chứng minh. Vệt bằng xảy ra khi a = b = c.c) Với các số dương 3a và 5b , theo bất đẳng thức Cauchy ta tất cả : .Û (3a + 5b)2 ≥ 4.15P (vì p = a.b) Û 122 ≥ 60P Û p ≤ Þ max p. = .Dấu bằng xẩy ra khi 3a = 5b = 12 : 2 Û a = 2 ; b = 6/5. 5. Ta tất cả b = 1 – a, cho nên vì thế M = a3 + (1 – a)3 = 3(a – ½)2 + ¼ ≥ ¼ . Vệt “=” xảy ra khi a = ½ .Vậy min M = ¼ Û a = b = ½ .6. Đặt a = 1 + x Þ b3 = 2 – a3 = 2 – (1 + x)3 = 1 – 3x – 3x2 – x3 ≤ 1 – 3x + 3x2 – x3 = (1 – x)3.Suy ra : b ≤ 1 – x. Ta lại có a = 1 + x, bắt buộc : a + b ≤ 1 + x + 1 – x = 2.Với a = 1, b = 1 thì a3 + b3 = 2 cùng a + b = 2. Vậy max N = 2 khi a = b = 1.7. Hiệu của vế trái và vế phải bởi (a – b)2(a + b).8. Vì | a + b | ≥ 0 , | a – b | ≥ 0 , yêu cầu : | a + b | > | a – b | Û a2 + 2ab + b2 ≥ a2 – 2ab + b2 Û 4ab > 0 Û ab > 0. Vậy a cùng b là nhì số thuộc dấu.9. A) Xét hiệu : (a + 1)2 – 4a = a2 + 2a + 1 – 4a = a2 – 2a + 1 = (a – 1)2 ≥ 0.b) Ta tất cả : (a + 1)2 ≥ 4a ; (b + 1)2 ≥ 4b ; (c + 1)2 ≥ 4c và các bất đẳng thức này còn có hai vế mọi dương, đề xuất : <(a + 1)(b + 1)(c + 1)>2 ≥ 64abc = 64.1 = 82. Vậy (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8.10. A) Ta có : (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2). Vì (a – b)2 ≥ 0, đề nghị (a + b) 2 ≤ 2(a2 + b2).b) Xét : (a + b + c)2 + (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2. Khai triển với rút gọn, ta được : 3(a2 + b2 + c2). Vậy : (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2).11. A) b) x2 – 4x ≤ 5 Û (x – 2)2 ≤ 33 Û | x – 2 | ≤ 3 Û -3 ≤ x – 2 ≤ 3 Û -1 ≤ x ≤ 5.c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 1 Û (2x – 1)2 ≤ 0. Mà lại (2x – 1)2 ≥ 0, bắt buộc chỉ có thể : 2x – 1 = 0Vậy : x = ½ . 12. Viết đẳng thức đã cho dưới dạng : a2 + b2 + c2 + d2 – ab – ac – ad = 0 (1). Nhân hai vế của (1) cùng với 4 rồi đem về dạng : a2 + (a – 2b)2 + (a – 2c)2 + (a – 2d)2 = 0 (2). Cho nên vì vậy ta tất cả :a = a – 2b = a – 2c = a – 2d = 0 . Suy ra : a = b = c = d = 0.13. 2M = (a + b – 2)2 + (a – 1)2 + (b – 1)2 + 2.1998 ≥ 2.1998 Þ M ≥ 1998.Dấu “ = “ xảy ra khi gồm đồng thời : Vậy min M = 1998 Û a = b = 1.14. Giải tựa như bài 13.15. Đưa đẳng thức đã cho về dạng : (x – 1)2 + 4(y – 1)2 + (x – 3)2 + 1 = 0.16. .17. A) . Vậy .22. Chứng minh như bài xích 1.23. A) . Vậy b) Ta có : . Theo câu a :c) từ câu b suy ra : . Bởi vì (câu a). Cho nên vì vậy :.24. A) trả sử = m (m : số hữu tỉ) Þ = mét vuông – 1 Þ là số hữu tỉ (vô lí)b) đưa sử m + = a (a : số hữu tỉ) Þ = a – m Þ = n(a – m) Þ là số hữu tỉ, vô lí.25. Có, chẳng hạn 26. Đặt . Dễ dàng minh chứng nên a2 ≥ 4, cho nên vì thế | a | ≥ 2 (1). Bất đẳng thức phải chứng minh tương đương cùng với : a2 – 2 + 4 ≥ 3aÛ a2 – 3a + 2 ≥ 0 Û (a – 1)(a – 2) ≥0 (2)Từ (1) suy ra a ≥ 2 hoặc a ≤ -2. Nếu như a ≥ 2 thì (2) đúng. Nếu như a ≤ -2 thì (2) cũng đúng. Việc được bệnh minh.27. Bất đẳng thức phải minh chứng tương đương với :.Cần chứng minh tử ko âm, có nghĩa là : x3z2(x – y) + y3x2(y – z) + z3y2(z – x) ≥ 0. (1)Biểu thức không thay đổi khi thiến vòng x à y à z à x nên rất có thể giả sử x là số mập nhất. Xét nhì trường vừa lòng :a) x ≥ y ≥ z > 0. Bóc tách z – x sống (1) thành – (x – y + y – z), (1) tương đư